Vamos a intentar entender los principios fundamentales de la Física Cuántica por comparación con la física clásica.
En los años veinte del siglo pasado, vivíamos convencidos de leyes determinísticas y predecibles, en ellas no cabía la ambigüedad: conocidas todas las condiciones iniciales de un sistema, nunca se ponía en duda el resultado de cualquier experimento. Este mundo de seguridad y voló por los aires con la llegada de la teoría cuántica, todo pasó a ser simplemente probable, un terrible dolor de cabeza.
Espacio de aplicación: La física cuántica es necesaria para describir fenómenos a escalas atómicas y subatómicas, así como para entender el comportamiento de partículas a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. La física clásica solo es válida para describir fenómenos macroscópicos a escalas mayores que los tamaños atómicos y velocidades comparables o mucho menores que la velocidad de la luz.
Dualidad onda-partícula: Lo que diferencia a la física cuántica de la clásica es el concepto de cuantización, según el cual las cantidades físicas, como la energía y el momento, son discretas en lugar de continuas. las partículas se describen mediante funciones de onda que contienen información sobre la probabilidad de encontrar la partícula en una posición o estado particular, esta dualidad partícula-onda introduce incertidumbre e imprevisibilidad en el funcionamiento fundamental del universo. Se ha comprobado sobradamente que muchas partículas pueden exhibir comportamientos típicos de ondas en algunos experimentos y aparecer como partículas compactas en otros.
Ante el caos de teorías e ideas que comenzaban a surgir sobre la física cuántica, los científicos trataban de discernir una teoría coherente y lo más completa posible. Así surge la Interpretación de Copenhague que es la explicación más tradicional del mundo cuántico y de nuestra relación con él.
Vamos a tratar de entender algunos de los eventos, principios y conceptos fundamentales de la mecánica cuántica, concretamente vamos acentrarnos en los siguientes:
Ante el caos de teorías e ideas que comenzaban a surgir sobre la física cuántica, en la década de los años 20 del siglo pasado, los científicos trataban de discernir una teoría coherente que la explicara. Así surge la Interpretación de Copenhague, la explicación más tradicional del mundo cuántico y nuestra relación con él.
Esta interpretación es fruto de científicos como Niels Bohr, Max Born y Werner Heisenberg, entre otros. Se presenta en 1927 en una conferencia en el lago Como, Italia, aunque su nombre se lo debe a la ciudad en la que residía Bohr. A la hora de estudiar la mecánica cuántica, desde entonces ésta interpretación ha sido, y sigue siendo, la explicación más utilizada, ya que se considera que sigue siendo válida y la más completa. Estos son sus puntos clave:
La Interpretación de Copenhague introduce el principio de complementariedad, que sostiene que los conceptos clásicos y cuánticos son complementarios y no pueden describirse completamente al mismo tiempo. Esto es porque en la mecánica cuántica, las partículas, como electrones y fotones, exhiben una dualidad en su comportamiento. Pueden comportarse tanto como partículas puntuales (con posición definida) como ondas extendidas (con propiedades de onda, como interferencia y difracción).
En otras palabras, si tienes información precisa sobre el comportamiento de una partícula como partícula, la información sobre su comportamiento como onda se vuelve menos precisa y viceversa.
Un ejemplo clásico de la dualidad partícula-onda es la luz. Puede describirse como partículas discretas llamadas fotones, que llevan energía en paquetes cuantizados. Al mismo tiempo, la luz también exhibe comportamiento ondulatorio, como la difracción, que es característica de las ondas.
Un experimento clásico que ilustra la complementariedad es el experimento de la rendija doble con partículas como electrones. Cuando las partículas se envían a través de dos rendijas, se comportan como ondas, creando un patrón de interferencia. Sin embargo, si intentas determinar por cuál rendija pasa cada partícula (medición de posición) utilizando detectores para medir su posición algo interesante sucede: la mera observación del camino que toma la partícula colapsa la función de onda y fuerza a la partícula a comportarse más como una partícula clásica puntual
En resumen, el principio de complementariedad en la mecánica cuántica reconoce que las partículas subatómicas tienen propiedades tanto de partículas como de ondas, y estas descripciones son complementarias. Al intentar observar una característica, se afecta la capacidad de observar la otra, lo que refleja la naturaleza dual de las partículas cuánticas. Este principio juega un papel importante en la forma en que comprendemos y modelamos fenómenos cuánticos.
La Interpretación de Copenhague está estrechamente relacionada con el principio de incertidumbre de Heisenberg, que establece que no se pueden conocer con precisión simultánea ciertos pares de variables conjugadas, como posición y momento. Este principio refleja la limitación intrínseca en la precisión de nuestras mediciones en el ámbito cuántico.
La Interpretación de Copenhague introduce la idea de que el estado cuántico de un sistema no describe con certeza sus propiedades, sino que proporciona probabilidades de que ciertas propiedades se manifiesten en una medición. A partir de aquí interviene el observador y aparece el concepto colapso de onda:
Colapso de la Función de Onda. Según esta interpretación, antes de que se realice una medición, el sistema cuántico se encuentra en un estado superpuesto de múltiples posibles estados. Cuando se realiza una medición, el sistema "colapsa" a uno de esos estados posibles. El acto de medir determina el resultado final y, en el proceso, afecta el estado cuántico del sistema. Por lo tanto, el papel del observador es fundamental. La medida cuántica no es simplemente una observación pasiva, sino que involucra la interacción del observador con el sistema cuántico. Esto implica que el acto de observar y medir no es independiente del sistema observado.
La Interpretación de Copenhague es conocida por su posición anti-realista ontológica, lo que significa que no atribuye propiedades físicas objetivas al sistema cuántico antes de la medición. Solo cuando se realiza la medición, el sistema "elige" un estado específico.
La superposición es una característica fundamental de la mecánica cuántica.
Física clásica: Los objetos en la física clásica no pueden existir en dos estados diferentes simultáneamente. La posición y el estado de una partícula son completamente determinados. En la física clásica, las mediciones se consideran simplemente como una lectura precisa de la propiedad medida, sin afectar el estado del sistema.
Física cuántica: Según el principio de superposición cuántica, las partículas pueden existir en múltiples estados al mismo tiempo hasta que se miden. En la mecánica cuántica, la medida de una propiedad colapsa la función de onda del sistema a uno de los estados posibles; a esto se llama Colapso de la función de Onda. La medición afecta intrínsecamente el estado cuántico del sistema.
Es precisamente la superposición la que permite paralelismo a la computación cuántica, y le posibilita a realizar múltiples cálculos simultáneamente.
Dicho de otra manera: mientras no se midan las propiedades de esa onda, ésta permanece y sigue teniendo varios valores a la vez. La superposición se mantiene mientras nadie la observa y cuando nos decidimos a medirla, la onda desaparece y vuelve a transformarse en una partícula con una única posición, pero es imposible predecir con exactitud cuál será el resultado.
La mejor representación de esta característica es la famosa paradoja de Schrödinger, en el que un gato está a la vez vivo y muerto hasta que se le observa.
Según el ejercicio mental que propone Schrödinger, se introduce un gato vivo en una caja hermética. Junto a él hay una vasija cerrada con un gas venenoso, una partícula radioactiva y un dispositivo preparado para romper la vasija y dejar libre el gas que mataría al gato. Ese mecanismo se activa en función de que detecte o no la radiación de la partícula radioactiva. Dicha partícula emitirá o no radioactividad dependiendo de si se ha descompuesto o no, de forma que sin abrir la caja no sabemos cuál es el estado del gato así que podemos afirmar que está simultáneamente vivo y muerto, con una probabilidad el 50% de que se den ambas situaciones. Al abrir la caja se da un colapso de la onda y el gato pasa a estar en uno de los dos estados: vivo o muerto.
Pero ocurre que un gato no puede estar a la vez vivo y muerto. Curiosamente, Schrödinger lo que pretendía era poner en duda la Interpretación de Copenhague, que decía que al medir una onda esta pasa a ser partícula (colapso de la onda). Estás reflexiones dieron como resultado una segunda paradoja aún más extraña: El amigo de Wigner:
En esta paradoja Wigner sustituye el gato por un amigo, al que mete en un dentro de un laboratorio para que observe un mecanismo similar al que explica Schrödinger. A continuación, Wigner sale de la sala dejando dentro a su amigo. La pregunta es: ¿Cuándo se produce el colapso de onda? El amigo de Wigner que, a diferencia del gato, es consciente, percibiría un resultado definido, él se sabe vivo o no, y nunca llegaría a encontrarse en un estado de superposición.
Resulta una paradoja es infinita, directamente relacionada con preguntas filosóficas, como aquella de, otra vez, Einstein: ¿Crees realmente que la Luna no está allí cuando no miramos?
Con el tiempo, los científicos comprendieron por qué los problemas planteados por Schrödinger y Wigner no tenía sentido. La conciencia no es un requisito indispensable para influir en la mecánica cuántica. El hecho de que las superposiciones de un átomo se desmoronen no responde a un observador más o menos inteligente, sino a la interacción del sistema cuántico con el entorno, lo que llamaron "decoherencia".
La decoherencia cuántica nos dice que las partículas dejan de tener superposiciones cuando entran en contacto con otras partículas de su entorno y cuánto más grande es el sistema más interacción presenta con el entorno, por eso un átomo tiene propiedades cuánticas y un gato no. Esta es la línea divisoria entre el mundo cuántico y el real que la Interpretación de Copenhague adivinaba, pero no sabía explicar.
El entrelazamiento cuántico es un fenómeno fascinante dentro de la física cuántica en el que dos partículas estén correlacionadas de tal manera que el estado de una de ellas se conoce inmediatamente al medir el estado de la otra, incluso si están separadas por grandes distancias.
De esta forma, si alteramos el valor de un qubit, automáticamente se altera el valor de los qubits que está entrelazados con él, independientemente de la distancia física que los separe. El entrelazamiento permite cálculos paralelos que habilitan capacidades computacionales no conocidas hasta la fecha.
El concepto de entrelazamiento cuántico fue introducido por primera vez por Albert Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen en un innovador trabajo de investigación publicado en 1935. En este artículo, conocido como el artículo EPR, postulaban que la interpretación estándar de la mecánica cuántica era incompleta, ya que permitía interacciones instantáneas entre partículas distantes. A Einstein y sus colegas les preocupaban que el entrelazamiento parecía violar el principio de localidad, según el cual ninguna información puede viajar más rápido que la velocidad de la luz. Sin embargo, Niels Bohr y otros defensores de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica pusieron en entredicho ese punto de vista.
Einstein se agarraba a su creencia en las variables ocultas, sugiriendo que debe haber factores desconocidos que determinen los resultados de las partículas entrelazadas, mientras que Bohr defendía la completitud de la mecánica cuántica, afirmando que el entrelazamiento era una característica inherente al mundo cuántico.
El físico John Bell propuso en la década de los 60 una forma de comprobar experimentalmente las predicciones del entrelazamiento cuántico. Desde entonces se han realizado numerosos experimentos, incluyendo entrelazamiento entre partículas separadas por grandes distancias, como fotones separados por varios kilómetros, y los resultados de estos experimentos han respaldado sistemáticamente la naturaleza no local de las partículas entrelazadas.
¿Cómo funciona el entrelazamiento cuántico?
El proceso de entrelazamiento cuántico contempla dos pasos principales: la preparación de las partículas y la medición.
Preparación de partículas: dos partículas se juntan de tal manera que sus estados cuánticos se entrelazan. Esto puede ocurrir por varios métodos, como la emisión de fotones entrelazados o la manipulación de los espines de los electrones. Una vez que las partículas están entrelazadas, sus estados cuánticos se correlacionan, lo que significa que la medición de una partícula influye directamente en la medición de la otra. Esta dependencia se mantiene, aunque las partículas estén separadas por grandes distancias.
Medición: ¿qué ocurre exactamente durante el proceso de medición?
Cuando se realiza una medición en una de las partículas enredadas, su estado cuántico colapsa en un valor específico. Este colapso determina instantáneamente el estado de la otra partícula enredada, independientemente de la distancia que las separe.
Esta correlación instantánea entre las mediciones de las partículas entrelazadas, a menudo denominada "espeluznante acción a distancia" por Albert Einstein, es uno de los aspectos más desconcertantes del entrelazamiento cuántico.
Experimentos de entrelazamiento
A lo largo del tiempo se han realizado numerosos experimentos para evaluar la validez del entrelazamiento cuántico. Dos de los experimentos pioneros que solidificaron la existencia del entrelazamiento son la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) y el teorema y la desigualdad de Bell.
La paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen (EPR), esbozada en el artículo de 1935 mencionado anteriormente, proponía un escenario en el que dos partículas se encuentran en un estado enredado, y la medición de una partícula determina instantáneamente las propiedades de la otra partícula. Esto implicaba una conexión no local entre las partículas, lo que desafiaba los principios de localidad y realismo.
Teorema de Bell y desigualdad. En 1964, el físico John Bell formuló un teorema matemático y una desigualdad que podían probarse experimentalmente para determinar si las partículas entrelazadas presentaban realmente correlaciones no locales. Los experimentos posteriores, conocidos como pruebas de Bell, han demostrado sistemáticamente que no se cumple la desigualdad de Bell, lo que supone una prueba contundente a favor del entrelazamiento.
La superposición desempeña un papel crucial en el fenómeno del entrelazamiento cuántico. Cuando las partículas están entrelazadas, existen en una superposición de estados, lo que significa que están en todos los estados posibles simultáneamente. Sólo cuando se mide se determina el estado de cada partícula enredada, fijando instantáneamente el estado de su compañera enredada.
Veámoslo más de cerca:
Imaginemos dos partículas, A y B entrelazadas. Antes de realizar ninguna medición, ambas partículas se encuentran en una superposición de estados: la partícula A podría estar girando hacia arriba y hacia abajo simultáneamente, mientras que la partícula B podría estar en un estado de giro a la izquierda y a la derecha simultáneamente.
Como hemos visto, cuando se realiza una medición en una de las partículas, su superposición colapsa en un estado concreto, y en este momento es cuando ocurre la magia: tan pronto como la superposición de la partícula A colapsa, la superposición de la partícula B colapsa también, pero de una manera que asegura la conservación global de ciertas propiedades. Si se mide que la partícula A gira hacia arriba, se medirá que la partícula B gira hacia abajo, aunque estén a años luz de distancia.
Este colapso instantáneo de la superposición de partículas entrelazadas es un fenómeno alucinante que ha fascinado a científicos y filósofos por igual. Desafía nuestra comprensión causa-efecto, ya que la medición de una partícula parece determinar instantáneamente el estado de su compañera entrelazada, independientemente de la distancia que las separe.
La simple observación de una partícula cuántica puede cambiar su estado, lo que limita la precisión con la que realizar cálculos en un sistema cuántico: si miramos a una partícula cuántica (si la medimos) reacciona diferente que si no la miramos (medimos).
La relación entre el álgebra y la computación cuántica es fundamental, ya que el álgebra lineal y la teoría de matrices son herramientas esenciales en la descripción y el diseño de algoritmos cuánticos; los elementos básicos de la computación cuántica como qubits, puestas y algoritmos se representan matemáticamente a través de conceptos de Álgebra Lineal.
Los conceptos y principios básicos soportan física cuántica también se describen, representan y manipulan a través de conceptos de álgebra lineal, por ejemplo:
En resumen: el Álgebra Lineal proporciona un marco matemático crucial para entender y diseñar algoritmos cuánticos. Su aplicación en Computación Cuántica es esencial para modelar y manipular la complejidad de los estados cuánticos y las operaciones en sistemas cuánticos.
Para codificar para una computadora cuántica, es esencial tener un buen entendimiento de álgebra lineal, ya que es la rama de las matemáticas que proporciona el marco teórico para describir y manipular sistemas cuánticos.
Recogemos a continuación una pequeña descripción de las áreas del álgebra lineal y de la cuántica que se consideran especialmente relevantes. Probablemente, para comenzar a codificar con Quiskit será interesante familiarizarse con todas ellas:
Es importante comprender cómo trabajar con VECTORES y MATRICES; comenzaremos por el producto de matrices.
Propiedades principales:
Para poder calcular el producto de matrices A⋅B se requiere el número de filas de A sea el mismo que el número de columnas de B y el resultado tendrá tantas filas como A y tantas columnas como B. La operación se va realizando multiplicando de la siguiente forma:
1ª fila x 1ª columna, 1ª fila x 2ª columna … 1ª fila por “n” columna
2ª fila x 1ª columna, 2ª fila x 2ª columna … 2ª fila por “n” columna
… ... ...
“n” fila x 1ª columna, “n” fila x 2ª columna … “n” fila por “n” columna
Ejemplos:
El formalismo bra-ket, desarrollado por Dirac, es una notación algebraica fundamental en mecánica cuántica que utiliza los conceptos de vectores bra y ket. Esto simplifica la representación de operadores y estados cuánticos.
Pero…. Mejor si vamos viendo cómo utilizarlo:
Para un sistema de 4 qubits tendríamos que manipular matrices de 16x16, lo que parece poco práctico. Es más interesante entender el funcionamiento de las puertas. Veamos un ejercicio con 3 qubits y su solución.
Dado este circuito, determinar el estado de los qubits antes de la medición, sin trabajar con matrices:
Si es tu caso y te apasiona el tema, puedes seguir profundizando en las siguientes áreas:
La distancia entre dos puntos en un plano se obtiene, tal y como dice el teorema de Pitagoras, calculando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la diferencia entre las coordenadas de los puntos.
Para poder hacer eso con infinitas coordenadas se necesita un Espacio de Hilbert, o dicho de otra forma que la suma infinita de los cuadrados de las diferencias converja a un valor y no sea infinito.
Un espacio de Hilbert es una generación, a dimensiones infinitas, de los espacios euclideos.
La descomposición en valores singulares es una herramienta importante en álgebra lineal que se utiliza en la teoría cuántica para entender la estructura de matrices y operadores. Es fundamental para comprender la singularidad y la factorización de matrices.
Los eigenvalores y eigenvectores son conceptos clave en álgebra lineal y son esenciales en la teoría cuántica para describir propiedades de operadores y matrices. Muchos algoritmos cuánticos involucran manipulaciones de eigenvectores y eigenvalores.
En el contexto cuántico, los observables se representan mediante operadores hermitianos y las evoluciones temporales mediante operadores unitarios. Comprender estas propiedades es esencial para la implementación de algoritmos cuánticos.
Las reglas de conmutación entre observables son fundamentales en el álgebra cuántica. Por ejemplo, las relaciones de conmutación entre los operadores de posición y momento angular están relacionadas con los principios de la incertidumbre de Heisenberg.
La transformada de Fourier cuántica es una parte importante de muchos algoritmos cuánticos, como el algoritmo de Shor. Entender cómo se aplica y manipula la transformada de Fourier cuántica requiere conocimientos en álgebra lineal y teoría de números.
La algoritmia en computación cuántica se basa en principios que no tienen equivalentes directos en la computación clásica. Los algoritmos cuánticos pueden aprovechar la superposición, el entrelazamiento y la interferencia para resolver ciertos problemas de manera significativamente más eficiente que los algoritmos clásicos. La investigación en este campo está en constante desarrollo, con el objetivo de encontrar más algoritmos que puedan superar los límites de la computación clásica. A medida que la tecnología cuántica avanza, los algoritmos cuánticos continuarán desempeñando un papel crucial en el desbloqueo de todo el potencial de la computación cuántica.
Si alguien estuviera interesado en profundizar en el ámbito de la algoritmia podría aplicar el guion que proponemos a continuación.
Propuesta de Programa Formativo en Algoritmia Cuántica
El programa propuesto plantea dos fases, una fase que abarca módulos del 1 al 3, y que está recogida en la propia web, y una segunda fase contemplada en los módulos de 4 a 6 y que no ha sido objeto de ese proyecto y, por lo tanto no están recogidos en esta web.
1. Introducción a la Computación Cuántica
- Historia y evolución de la computación cuántica.
- Diferencias entre computación clásica y cuántica.
- Aplicaciones y potencial de la computación cuántica.
2. Matemáticas para la Computación Cuántica
- Álgebra lineal: vectores, matrices, producto tensorial.
- Espacios de Hilbert y estados cuánticos.
- Números complejos y su manipulación (no está recogido en la web).
3. Principios de Mecánica Cuántica
- Superposición
- Entrelazamiento.
- Principio de incertidumbre de Heisenberg.
- Decoherencia cuántica.
1. Qubits y Estados Cuánticos
- Qubits y representación de estados.
- Esfera de Bloch.
2. Puertas Cuánticas y Circuitos
- Puertas cuánticas básicas.
- Puertas cuánticas controladas: CNOT, Toffoli.
- Diseño y visualización de circuitos cuánticos.
3. Medición en Sistemas Cuánticos
- Medición de qubits.
- Colapso del estado cuántico.
- Operadores de medición.
1. Desarrollo de Circuitos Cuánticos con Qiskit
- Instalación y configuración de Qiskit.
- Creación y simulación de circuitos cuánticos.
- Medición y análisis de resultados.
- Ejemplos.
1. Algoritmo de Deutsch-Jozsa
- Problema de Deutsch-Jozsa.
- Implementación y análisis del algoritmo.
2. Algoritmo de Grover
- Búsqueda cuántica no estructurada.
- Amplitud de amplificación y optimización.
- Implementación y aplicaciones.
3. Algoritmo de Shor
- Factorización de números enteros.
- Transformada cuántica de Fourier.
- Implicaciones en la criptografía.
4. Ejemplos Prácticos con algoritmos
- Implementación de algoritmos cuánticos conocidos.
- Optimización de algoritmos y análisis de rendimiento.
1. Transformada Cuántica de Fourier
- Definición y propiedades.
- Implementación en circuitos cuánticos.
- Aplicaciones en otros algoritmos cuánticos.
2. Algoritmos Cuánticos de Simulación
- Simulación de sistemas cuánticos.
- Algoritmos de simulación de Hamiltonianos.
- Aplicaciones en química cuántica y física de materiales.
3. Algoritmos de Optimización Cuántica
- Algoritmos cuánticos variacionales (VQE, QAOA).
- Optimización de parámetros y aplicaciones.
- Implementación práctica.
1. Criptografía Cuántica y Seguridad
- Protocolos de criptografía cuántica (BB84, E91).
- Seguridad post-cuántica.
- Implementaciones prácticas y desafíos.
2. Futuro de la Computación Cuántica
- Investigaciones actuales y futuras direcciones.
- Impacto en diferentes industrias (finanzas, salud, logística).
- Ética y consideraciones sociales.
